问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi，背包的容量是M，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？
问题特点是：每种物品一件，可以选择放1或不放0。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，据说基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以详细的查了一下这个方程的含义：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
在有的地方看到的背包问题题目中，有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的含义。
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
if(j>=w[i]){
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
}
【编程题】 数字和为sum的方法数
（动态规划，一个变异的背包问题, 背包必须被装满）
给定一个有n个正整数的数组A和一个整数sum,求选择数组A中部分数字和为sum的方案数。 当两种选取方案有一个数字的下标不一样,我们就认为是不同的组成方案。
输入例子:
5 15
5 5 10 2 3
输出例子:
4 方法思想：动态规划思想 代码：
1） java实现
import java.util.Scanner;
public class Test { public static int n=0;
public static long calSum(int a[],int sum){ long dp[][]=new long[n+1][sum+1];
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=sum;j++){ if(j>=a[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j-a[i]]+dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
return dp[n][sum];
}
public static void main(String[] args) { Scanner in=new Scanner(System.in);
while(in.hasNext()){ n=in.nextInt();
int a[]=new int[n+1];
int sum=in.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=in.nextInt();
}
System.out.println(calSum(a,sum));
}
in.close();
}
}
2）c++语言实现
#include<iostream>
using namespace std;
int w[1001];
long long dp[1001];
int main(){
int n,sum,i;
while(cin>>n>>sum){
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
for(i=0;i<=sum;i++){
if(i==0)
dp[i]=1;
else
dp[i]=0;
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(int j=sum;j>=0;j--){
if(j>=w[i]){
dp[j]=dp[j]+dp[j-w[i]]; //dp[j]=不加入第i个物品时重量为dp[j]的方
//式+加入这次第i个物品，那么之前dp[j-w[i]]的放入方式
//cout<<dp[j]<<" ";
}
}
//cout<<"\n";
}
cout<<dp[sum]<<endl;
}
return 0;
}
或者使用二维数组：
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
long long dp[MAXN][MAXN];
vector<int> ori;
int main(){
int N,M;
cin>>N>>M;
ori.resize(N+1);
for(int i=1;i<=N;i++)
cin>>ori[i];
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=M;j>=0;j--){
if(j>=ori[i]){
dp[i][j]=dp[i-1][j-ori[i]] + dp[i-1][j];
}else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[N][M]<<endl;
return 0;
}